Question

设x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y

Answer 1

既然已推断出：x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6。
但是粗略的比较下三个数，分母都不一样，那么求差比较大小是比较复杂的事情；而他们的分子都是k，所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑。
则1/3x=lg3/3k，1/4y=lg4/4k，1/6z=lg6/6k。分别求差得：
1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=（4lg3-3lg4）/12k，因为（4lg3-3lg4）为大于0的数，且k亦大于0，所以1/3x-1/4y>0，由此可推3x<4y。
同理，可以得到：4y<6z。
综上所述，3x<4y<6z。
我不知道你有没看我的答案。如果不是你所想要的，那我不清楚你所谓的最后一行是指什么。不是比较三者大小的话，那你要问的又是什么？

Answer 2

∵x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即：xlg3=ylg4=zlg6
设xlg3=ylg4=zlg6=k
则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得证

Answer 3

对等式求6的对数得1/Z=(log3 6)(1/x)
1/y=(log3 4)(1/x)
带入得证