Question

设x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y

∵x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即：xlg3=ylg4=zlg6
设xlg3=ylg4=zlg6=k
则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得证

但是要比较3x,4y,6z的大小,怎么比?
重点在问题的最后一行!!

Answer 1

既然已推断出：x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6 。

但是粗略的比较下三个数，分母都不一样，那么求差比较大小是比较复杂的事情；而他们的分子都是k，所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑。

则1/3x=lg3/3k，1/4y=lg4/4k，1/6z=lg6 /6k。分别求差得：
1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=（4lg3-3lg4）/12k，因为（4lg3-3lg4）为大于0的数，且k亦大于0，所以1/3x-1/4y>0，由此可推3x<4y。

同理，可以得到：4y<6z。

综上所述，3x<4y<6z。

我不知道你有没看我的答案。如果不是你所想要的，那我不清楚你所谓的最后一行是指什么。不是比较三者大小的话，那你要问的又是什么？

Answer 2

因为 x,y,z都大于0，
所以3^x=4^y=6^z都大于1
所以lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)=K都大于0
所以K>0
因为x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
所以3x=3k/lg3=k/[（1/3）*（lg3）]
同理4y=k/[（1/4）*（lg4）],6z=k/[（1/6）*（lg6）]
三个数有相同的分子K且K>0,所以分母越大值越小
（1/3）*（lg3）/[（1/4）*（lg4）]=4lg3/3lg4=lg81/lg64>1
所以3x的分母比4y的大
（1/4）*（lg4）/=[（1/6）*（lg6）]=6lg4/4lg6=lg4096/lg1296>1
所以4y的分母比6z的大
所以3x最小,4y中间,6z最大
所以3x<4y<6z