Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x∧2-6x+21）+f（y∧2-8y）＜0恒成立，则当x＞3时，2x∧2+2y∧2的取值范围是

Answer 1

∵y=f（x-1）图象关于点（1，0）对称
∴y=f（x）图象关于点（0，0）对称
∴y=f（x）为奇函数
f（x∧2-6x+21）+f（y∧2-8y）＜0
∴f（x^2-6x+21）＜-f（y^2-8y）
∴f（x^2-6x+21）＜f（8y-y^2）
又∵y=f（x）是定义在R上的增函数
∴x^2-6x+21＜8y-y^2
∴x^2-6x+21-8y+y^2＜0
∴（x-3）²+（y-4）²＜4
∴（x，y）为圆心A（3,4），半径小于2的圆形，
∴1＜x＜5，2＜y＜6
∴2x²+2y²=2（x²+y²）
最小为OA-r=5-2=3
最大为最高点B(3，6)与原点距离OB=3*根号5

∴18＜2x²+2y²＜90

Answer 2

此题考查奇函数的性质
解：由于函数y=f（x-1）图象是
由函数y=f（x）向右平移1个单位得到的；
函数y=f（x-1）图象关于点（1，0）对称
∴y=f（x）的图像关于点（0，0）对称
故y=f（x）为R上的单调递增奇函数
∴x≥0时，f（x）≥0
x＜0时，f（x）＜0
f（x^2-6x+21）+f（y^2-8y）
=f[(x-3)^2+12]+f[y(y-8)]
∵x>3时，f[(x-3)^2+12]恒＞0
∵f（x^2-6x+21）+f（y^2-8y）＜0恒成立
∴y(y-8)<0……①
且|y(y-8)|＞12……②
解出①为：0<y<8
解出②为：2<y<6
∴2<y<6
故26<2x^2+2y^2<108