Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. 设a<-1,如果对任意X1、X2属于零到正无穷，

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. 设a<-1,如果对任意X1、X2属于零到正无穷，|f(x1)-f(x2)| >= 4|x1-x2|恒成立，求a范围
式中为ax方
求大神解答

Answer 1

对任意X1、X2属于零到正无穷，|f(x1)-f(x2)| >= 4|x1-x2|恒成立，
当x1≠x2时，即|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≥4恒成立，
即是曲线上任意两点连线的斜率|k|≥4,
根据导数的几何意义，即是|f'(x)|≥4恒成立。
f'(x)=(a+1)/x+2ax =a(1/x+2x)+1/x
|f'(x)|=|a(1/x+2x)+1/x|
|f'(x)|≥4
即a(1/x+2x)+1/x≥4或a(1/x+2x)+1/x≤-4恒成立。
a(1/x+2x)+1/x≥4
==>
a(1/x+2x)≥4-1/x
==>
a≥(4x-1)/(2x^2+1) (*)
当x>1/4时，(4x-1)/(2x^2+1)>0
∵a<-1
∴(*)不能恒成立

a(1/x+2x)+1/x≤-4
==> a≤-(4x+1)/(2x^2+1)
设g(x)=-(4x+1)/(2x^2+1)
g'(x)=-[4(2x^2+1)-(4x+1)*4x]/(2x^2+1)^2
=4(2x^2+x-1)/(2x^2+1)^2
=8(x+1)(x-1/2)/(2x^2+1)
当0<x<1/2时，g'(x)<0,g(x)递减
当x>1/2时,g'(x)>0,g(x)递增，
∴g(x)min=g(1/2)=-2
∴ a≤-2