Question

求关于勾股定理的论文一篇

论文,不是别的.字数不限

Answer 1

关于勾股定理
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．
证明方法：
先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2 。图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 ， b2）。图（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2
勾股定理的历史：
商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期
西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说:"…故折矩,勾广三,股修四
,经隅五."商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径
隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理.
关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也.""此数"指的是"勾
三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的.
赵爽：
�6�1东汉末至三国时代吴国人
�6�1为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.
赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒
等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的
独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明
勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中
体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,"形数统一"的思想方法正
是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系
与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思
想与方法在几百年停顿后的重现与继续."
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段
一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?"
商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形'矩'
得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这 个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。

Answer 2

勾股定理和乘法公式的强强结合
　　在运用勾股定理计算或证明时,若能与乘
法公式或其变形公式a2+b2=(a+b)2-2ab、
a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]等结合起来,
常会使解题过程简捷明快.
例1　如图1,AM是
△ABC的BC边上的中线.求
证:AB2+ AC2=2(AM2+
BM2).
思路:过A作AD⊥BC于
D,运用勾股定理并结合乘法
公式可获证.
证明:作BC边上的高AD.由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+DC2.
又因为AD2=AM2-MD2,BM =MC,
所以AB2+AC2
=2AD2+BD2+DC2
=2AM2-2MD2+(BM +MD)2+(MC -
MD)2
=2AM2-2MD2+BM2+2BM·MD+MD2
+MC2-2MC·MD +MD2
=2AM2+2BM2
=2(AM2+BM2).
注:证线段的平方和(或平方差),一般要
考虑用勾股定理,没有直角三角形可添辅助线
构造直角三角形.
例2　已知:AD是△ABC的高,且AD2=
BD·DC,那么△ABC是直角三角形吗?试说明
理由.
解:△ABC是直角三角形.
如图2,由勾股定理得
AB2=AD2+BD2,
①
AC2=DC2+AD2.
②
①+②得AB2+AC2
=2AD2+BD2+DC2.
因为AD2=BD·DC,
所以AB2+AC2
=2·BD·DC +BD2+DC2
= (BD +DC)2=BC2,
所以△ABC是直角三角形.
反思:此题还可通过把乘积BD·
“和”的形式来解,BD·DC =12[(
-BD2-DC2] =12(BC2-BD2-DC
妨试试,比较两种方法的优劣.
例3　如图3,四个全等的
直角三角形与中间的小正方形
拼成一个大正方形.如果大正
方形的面积是13,小正方形的
面积是1,直角三角形的两条直
角边长分别为a、b,求(a +b)2
的值.
分析:由勾股定理和面积关系得
a2+b2=13, (a -b)2=1,
从而建立关于a、b的关系式.
解:由勾股定理及题意得
a2+b2=13
(a -b)2=1
由②得a2+b2-2ab =1.

把①代入③,得13-2ab =1,
所以2ab =12,
所以(a +b)2=a2+b2+2ab
=13+12=25.
点评:此题是课本相关图形的改编题,象这
样与课本知识极为密切的题目,充分体现了学
好课本知识的重要性.注意关系式①、②是解
这类题的关键.
例4　Rt△ABC的周长为2 2+2,斜边AB
上的中线CD的长为1,求S△ABC.
分析:由斜边上的中线是1知,斜边c =2,
从而两直角边之和a+b =2 2,问题转化为解
方程组a +b =2 2,
a2+b2=4,
求a、b的值,由于S△ABC
=12ab.可设法由上述方程组整体地求出ab
的值.
解:设Rt△ABC的两直角边长为a、b,斜边
长为c.
则斜边c上的中线长为1,知斜边c =2.
由题意得
a2+b2=22,
a +b = (2 2+2) -2=2 2.
①
②
由②2-①得2ab =4,ab =2,
所以S△ABC=12ab =12×2=1.
点评:此类问题,一般的思路是利用勾股定
理以及周长条件建立方程组,求出两直角边长,
然后求面积.但注意到求面积的实质是求两直
角边的乘积,不一定非得求出这两个直角边.上