Question

三角形ABC为等边三角形，直线a平行AB，D为直线BC上的—点，角ADE的边DE交直线a于点E，且

三角形ABC为等边三角形，直线a平行AB，D为直线BC上的—点，角ADE的边DE交直线a于点E，且角ADE=60度。若D在BE上，求证CD+CE=CA。

Answer 1

在AB上取一点F，使得：BF = BD ，则有：△BDF是等边三角形。
AF = AB-BF = BC-BD = DC ；∠BAD = ∠ADC-∠ABD = ∠ADC-60° = ∠ADC-∠ADE = ∠CDE 。

在△ADF和△DEC中，∠FAD = ∠CDE ，AF = DC ，∠AFD = 120°= ∠DCE ，
所以，△ADF ≌ △DEC ，可得：DF = CE ；
则有：CD+CE = CD+DF = CD+BD = BC = CA 。

Answer 2

当点D在线段BC上时 CD+CE=CA
证明：过点D作DF平行AC，交AB于G
所以角BGD=角BAC
角BDG=角BCA
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=BC=CA
角BAC=角ABC=角ACB=60度
所以角BGD=角BDG=角ABC=60度
所以三角形BDG是等边三角形
所以BD=BG=DG
因为AB=AG+BG
BC=BD+CD
所以AG=CD
因为角ABC+角BAD+角ADB=180度
所以角BAD+角ADB=120度
因为角ADB+角ADE+角CDE=180度
角ADE=60度
所以角ADB+角CDE=120度
所i以角BAD=角CDE
因为角AGD+角BGD=180度（平角等于180度）
所以角AGD=120度
因为直线a平行AB
所以角ABC+角DCE=180度
所以角ECD=120度
所以角AGD=角ECD
所以三角形AGD全等三角形ECD (ASA)
所以DG=CE
所以BD=CE
因为BC=BD+CD
所以BC=CE+CD
所以CD+CE=CA