Question

大一高数问题 求大神帮忙~~~f(x)在(a,b)内二阶可导

f(x)在(a,b)内二阶可导 且对任意x属于(a,b) f''(x)>0
证明对任意x1、x2属于(a,b) 及λ属于（0，1） 恒有 f(λx1+(1-λ)x2)<λf(x1)+(1-λ)f(x2)

Answer 1

不妨设x1<x2,
令x3=λx1+(1-λ)x2, L=x2-x1
只需证明
λ(f(x3)-f(x1)) + (1-λ)(f(x3)-f(x2))<0
即
[f(x3)-f(x1)]/(1-λ) < [f(x2)-f(x3)]/λ
分母同乘以L
上式即
[f(x3)-f(x1)]/(x3-x1)<[f(x2)-x3)]/(x2-x3)
而此式可应用微分中值定理转化为
f'(x13)<f'(x23)
这可由f''>0直接得到，其中x13介于x1和x3之间，x23类似。

这个二阶导数反映的就是凸凹性，画个图看几何意义清楚些。

Answer 2

设g(x)=f(x) -f(x0)-f'(x0)(x-x0)则g'(x)=f'(x)-f'(x0)g''(x)=f''(x)g'(x0)=0,g''(x0)=f''(x0)>0所以g(x)在x0取极小值所以g(x)>=g(x0)=0即f(x) -f(x0)》=f'(x0)(x-x0)

追问

这不是 Lagrange中值定理么？
然后呢怎么得到结论啊？

追答

给你一条路，自己走去吧

追问

不要啊啊~