Question

在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E。

（1）如图1，连接EC，求证△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G。请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G。试探究ND,DG与AD数量之间的关系，并说明理由

Answer 1

（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=1/2 AB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=1/2 AB．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD=DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等边三角形，
∴MN=DM，
在△NGM和△DBM中，
∠N＝∠MDB
MN＝DM
∠NMC＝∠DMB
∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．
（3）结论：AD=DG-DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
DN＝HN
∠DNG＝∠HNB
∠H＝∠2
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
希望能帮到你

Answer 2

（1）因为角C90°，角A30°，所以角B60°所以CB=EB所以△EBC是等边三角形 其他的懒的答了，好不容易到了周末，不想费脑子了

追问

哎可怜的我还要改错

哎可怜的我还要改错