Question

高中数学椭圆如图 点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的 短轴位于x轴下

高中数学椭圆如图 点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的 短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线 交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP//x轴，向量A B*向量AP=9 （1）若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的方程 （2）若点P的坐标为（0，t），求实数t的取值范 围 问

Answer 1

点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP//x轴，向量AB*向量AP=9
（1）若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的方程
（2）若点P的坐标为（0，t），求实数t的取值范 围
(1)解析：∵椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，过A(0,-b)作斜率为1的直线
此直线为y=x-b
∵P(0,1)，BP//X轴，∴BP方程为y=1
y=x-b，y=1联立解得x=b+1,y=1==>P(b+1,1)
∵向量AB*向量AP=(0,1+b)*(b+1,b+1)=(b+1)^2=9==>b=2==>P(3,1)
代入椭圆得9/a^2+1/b^2=1==>a^2=12
∴椭圆C:x^2/12+y^2/4=1
(2)解析：∵P的坐标为（0，t）
∴向量AB*向量AP=(0,t+b)*(t+b,t+b)=(t+b)^2=9
∵t＞0，b＞0
∴t+b=3
将P(3,t)代入椭圆得9/a^2+t^2/b^2=1==>a^2=9b^2/(b^2-t^2)
∵a^2>b^2==>9b^2/(b^2-t^2)>b^2==>9/(b^2-t^2)>1
b=3-t==>9/((3-t)^2-t^2)>1==>9/(9-6t)>1==>0<t<3/2
∴t的取值范围是(0,3/2)