Question

∑n^2*x^n求和函数

n从0到+∞，求详解

Answer 1

设f(x)=∑(n=0→∞)n^2x^n=∑(n=1→∞)n^2x^n

收敛半径为1/limsup(n^(2/n))=1

f(x)/x=∑(n=1→∞)n^2x^(n-1)

F(x)=∫(0→x)f(t)/tdt=∑(n=1→∞)∫(0→x)n^2t^(n-1)dt=∑(n=1→∞)nx^n

F(x)/x=∑(n=1→∞)nx^(n-1)

∫(0→x)F(t)/tdt=∑(n=1→∞)∫(0→x)nt^(n-1)dt=∑(n=1→∞)x^n=x/(1-x)

F(x)/x=(x/(1-x))'=1/(1-x)^2

F(x)=∫(0→x)f(t)/tdt=x/(1-x)^2

f(x)/x=(x/(1-x)^2)'=(1+x)/(1-x)^3

f(x)=x(1+x)/(1-x)^3

不同学科的求和函数

在数学中，我们把∑作为求和符号使用；用小写字母σ，表示标准差。

在物理中，我们把它的小写字母σ，用来表示面密度。(相应地，ρ表示体密度，η表示线密度)。面密度在工程材料方面是指定厚度的物质单位面积的质量。

在化学中，我们把它的小写字母σ，用来表示共价键的一种。由两个原子轨道沿轨道对称轴方向相互重叠导致电子在核间出现概率增大而形成的共价键，叫做σ键。σ键属于定域键，它可以是一般共价键，也可以是配位共价键。一般的单键都是σ键。

Answer 2

f(x)=∑(n=0∞)n^2x^n

=∑(n=1∞)n^2x^n

Answer 3

设f(x)=∑(n=0→∞)n^2x^n=∑(n=1→∞)n^2x^n
收敛半径为1/limsup(n^(2/n))=1
f(x)/x=∑(n=1→∞)n^2x^(n-1)
F(x)=∫(0→x)f(t)/tdt=∑(n=1→∞)∫(0→x)n^2t^(n-1)dt=∑(n=1→∞)nx^n
F(x)/x=∑(n=1→∞)nx^(n-1)
∫(0→x)F(t)/tdt=∑(n=1→∞)∫(0→x)nt^(n-1)dt=∑(n=1→∞)x^n=x/(1-x)
F(x)/x=(x/(1-x))'=1/(1-x)^2
F(x)=∫(0→x)f(t)/tdt=x/(1-x)^2
f(x)/x=(x/(1-x)^2)'=(1+x)/(1-x)^3
f(x)=x(1+x)/(1-x)^3