Question

关于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²=2有两个不相等的实数根

关于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²=2有两个不相等的实数根，且两根的绝对值是直角三角形ABC的两直角边的长，斜边长为4根号6，求丨x1/x2丨+丨x2/x1丨的值

Answer 1

关于x的一元二次方程x²+2(m-3)x+m²-2=0有两个不相等的实数根，且两根的绝对值是直角三角形ABC的两直角边的长，斜边长为4√6，求丨x₁/x₂丨+丨x₂/x₁丨的值.

解：因为有两个不相等的实数根，故其判别式△=4(m-3)²-4(m²-2)=-24m+44>0，故m<11/6；
依维达定理，x₁+x₂=-2(m-3)=6-2m；x₁x₂=m²-2；.............(1)
已知x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(6-2m)²-2(m²-2)=2m²-24m+40=96，即有m²-12m-28=(m-14)(m+2)=0
故m₁=-2，m₂=14>11/6,(舍去，因为此时原方程无实根)；
将m=-2代入(1)式得x₁+x₂=10，x₁x₂=2;
故丨x₁/x₂丨+丨x₂/x₁丨=(x₁²+x₂²)/(丨x₁x₂丨)=[(x₁+x₂)²-2丨x₁x₂丨]/丨x₁x₂丨=(100-4)/2=96/2=48.

Answer 2

解：根据韦达定理：
X1+X2=-2(m-3)，X1*X2=m²-2，
X1²+X2²
=(X1+X2)²-2X1*X2
=4(m²-6m+9)-2(m²-2)
=2m²-24m+40=(4√6)²
m²-12m+20=48
(m-6)²=64，
m=14或m=-2，
又Δ=4(m-3)²-4(m²-2)=-24m+44>0，
得m<11/6，
∴m=-2，
∴方程就是：
X²-10X+2=0，
X1+X2=10，X1*X2=2，两根皆正，
|X1/X2|+|X2/X1|
=X1/X2+X2/X1
=［(X1+X2)²-2X1*X2］/X1*X2
=［100-4］/2
=48。

Answer 3

判别式>0,得 4(m-3)^2-4(m^2-2)>0
得m<17/6
x1+x2=2(3-m), x1x2=m^2-2
由直角三角形ABC，得：x1^2+x2^2=(4√6)^2=96
即(x1+x2)^2-2x1x2=96
4(m-3)^2-2(m^2-2)=96
m^2-12m-28=0
(m-14)(m+2)=0
因为m<17/6,所以取m=-2
故x1+x2=10, x1x2=2, x1,x2同为正数
|x1/x2|+|x2/x1|=x1/x2+x2/x1=(x1^2+x2^2)/(x1x2)=96/2=48