Question

有两道数学题不会。计算曲面积分F(t)=∫∫f(x,y,z)dS,其中 f(x,y,z)=x^2+y^2

14题和15题。谢谢。

Answer 1

解：∵x²+y²+z²=t²，则z=±√(t²-x²-y²)，αz/αx=-(±x)/√(t²-x²-y²)，αz/αy=-(±y)/√(t²-x²-y²)
∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αx)²)dxdy=│t│dxdy/√(t²-x²-y²)
故 F(t)=∫∫<S>│t│(x²+y²)dxdy/√(t²-x²-y²) (S是圆域：x²+y²≤(t/√2)²)
=│t│∫<0,2π>dθ∫<0,t/√2>r²*rdr/√(t²-r²) (作极坐标变换)
=2π│t│∫<0,t/√2>(1/2)(√(t²-r²)-t²/√(t²-r²))d(t²-r²)
=π│t│((√2-4)│t│³/6+(2-√2)│t│)
=πt²((√2-4)t²/6+2-√2)。

Answer 2

Answer 3

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Answer 4

这是高等数学的题目吧，答案见图片