Question

如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）

如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵AB ∥ MP，QM ∥ AC， ∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠PMC=∠QMB． ∴BQ=QM，PM=PC． ∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a． （2）∵PM ∥ AB， ∴△PCM ∽ △ACB， ∵QM ∥ AC， ∴△BMQ ∽ △BCA； （3）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形， ∵AB ∥ MP，点M是BC的中点， ∴ CM CB = CP AC = 1 2 ， ∴P是AC的中点， ∴PM是三角形ABC的中位线， 同理：QM是三角形ABC的中位线． ∵AB=AC， ∴QM=PM= 1 2 AB= 1 2 AC． 又由（1）知四边形APMQ是平行四边形， ∴平行四边形APMQ是菱形．