Question

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a 2 +b 2 =c 2 ，若△ABC不是直角

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a 2 +b 2 =c 2 ，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a 2 +b 2 与c 2 的关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：若△ABC是锐角三角形，则有a 2 +b 2 >c 2         若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a 2 +b 2 <c 2         当△ABC是锐角三角形时，           证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a-x            根据勾股定理得 b 2 -x 2 =c 2 - (a-x) 2 即 b 2 -x 2 =c 2 -a 2 +2ax-x 2               ∴a 2 +b 2 =c 2 +2ax            ∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a 2 +b 2 >c 2          当△ABC是钝角三角形时， 证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D。设CD为x，则有DB 2 =a 2 -x 2                根据勾股定理得 (b+x) 2 +a 2 ―x 2 =c 2 即 b 2 +2bx+x 2 +a 2 ―x 2 =c 2          ∴a 2 +b 2 +2bx=c 2          ∵b>0，x>0        ∴2bx>0    ∴a 2 +b 2 <c 2