（2013?泉州质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速
（2013?泉州质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿射线BC...
（2013?泉州质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．（1）填空：AB=______cm；（2）若0＜t＜5，试问：t为何值时，△PCQ与△ACB相似；（3）若∠ACB的平分线CE交△PCQ的外接圆于点E．试探求：在整个运动过程中，PC、QC、EC三者存在的数量关系式，并说明理由．
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（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=5cm，由勾股定理得：AB=
=5
（cm）
故答案为：5
；
（2）如图1，由题意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ与△ACB相似，必须有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
当∠PQC=∠A时，△PCQ∽△BCA，
由
＝
可得
＝
，
解得：t=1，
当∠PQC=∠B时，△PCQ∽△ACB，
由
＝
可得
＝
，
解得t＝
，
∴当t=1或
秒时，△PCQ与△ACB相似；
（3）当0＜t＜5时，如图2，
过点E作HE⊥CE交AC于H，则∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ为△PCQ的外接圆的直径，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴
＝
，
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中
| 102+52 |
| 5 |
故答案为：5
| 5 |
（2）如图1，由题意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ与△ACB相似，必须有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
当∠PQC=∠A时，△PCQ∽△BCA，
由
| CQ |
| CA |
| PC |
| BC |
| 5?t |
| 10 |
| 2t |
| 5 |
解得：t=1，
当∠PQC=∠B时，△PCQ∽△ACB，
由
| CQ |
| CB |
| PC |
| AC |
| 5?t |
| 5 |
| 2t |
| 10 |
解得t＝
| 5 |
| 2 |
∴当t=1或
| 5 |
| 2 |
（3）当0＜t＜5时，如图2，
过点E作HE⊥CE交AC于H，则∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ为△PCQ的外接圆的直径，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴
 |
| PE |
 |
| QE |
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中
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