Question

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG FC 的值．

Answer 1

（1）（2）见解析（3）

（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， 又∵∠CBD=∠BA， ∴∠ABC+∠CBD=90°， ∴∠ABD=90°， ∴OB⊥BD， ∴BD为⊙O的切线； （2）证明：连CE、OC，BE，如图， ∵OE=ED，∠OBD=90°， ∴BE=OE=ED， ∴△OBE为等边三角形， ∴∠BOE=60°， 又∵AC∥OD， ∴∠OAC=60°， 又∵OA=OC， ∴AC=OA=OE， ∴AC∥OE且AC=OE， ∴四边形OACE是平行四边形， 而OA=OE， ∴四边形OACE是菱形； （3）解：∵CF⊥AB， ∴∠AFC=∠OBD=90°， 而AC∥OD， ∴∠CAF=∠DOB， ∴Rt△AFC∽Rt△OBD， ∴ ，即 ， 又∵FG∥BD， ∴△AFG∽△ABD， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． （1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线； （2）连CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形； （3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有  ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即  ，然后求FC与FG的比即可一个定值．