Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+1与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，P是弦AB的中点，OP的斜率为23（其中O为原点），求k的值．

Answer 1

（1）设双曲线方程为

x2

a2

?

y2

b2

＝1（a＞0，b＞0）．
由已知得 a＝

3

，c＝2，再由a2+b2＝22，得b2＝1．
故双曲线C的方程为

x2

3

?y2＝1．
（2）联立

y＝kx+1 x2 3 ?y2＝1

得：（1-3k²）x²-6kx-6=0
△=36k2+24（1-k2）＞0得：3k²＜2
∵1-3k²≠0
∴3k²＜2  3k²≠1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6k

1?3k2

  x₁x₂=-

?6

1?3k2

∴p点坐标为（

3k

1?3k2

，

1

1?3k2

）
∵kop=

2

3

 
∴

1

3k

＝

2

3

∴k=

1

2