Question

（2014?昌平区二模）如图，已知?ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四

（2014?昌平区二模）如图，已知?ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE：AB的值．

Answer 1

（1）证明：连接对角线AC交对角线BD于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形AECF为菱形，
∴BO垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠EAO=30°，
在RT△AOE中，
AE=

2 3

3

AO=

3

3

AC，
∴AE：AC=

3

3

，
∵AE=AB，
∴AE：AC=

3

3

．