Question

已知在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1且4Sn=an?an+1+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn

已知在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1且4Sn=an?an+1+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an?3n-1，数列{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（1）∵4S_n=a_n?a_n+1+1    ①
∴4S_n-1=a_n-1a_n+1②
②-①得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=4
∵a₁=1得a₂=3
∴奇数项成以4为公差的等差数列；偶数项成以4为公差的等差数列
∴an＝

1+4( n+1 2 ?1)＝2n?1(n为奇数) 3+4( n 2 ?1)＝2n?1(n为偶数)

∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=（2n-1）?3^n-1
∴T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+..+（2n-1）×3^n-1
3T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ  
∴-2T_n=1×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
∴?2Tn＝

2(1?3n)

1?3

?(2n?1)×3n?1
所以T_n=（n-1）3ⁿ+1