Question

已知函数f（x）=ex（ax2+x+1），a∈R；（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在[0，1]上的最大值为3e2

已知函数f（x）=ex（ax2+x+1），a∈R；（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在[0，1]上的最大值为3e2，求a的值．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x（x+2）（ax+1）=0，
解得x=-1或x=-

1

a

．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-2＜x＜-

1

a

，（-2，-

1

a

）是增区间；
由f′（x）＜0，得x＜-2或x＞-

1

a

，（-∞-2），（-

1

a

，+∞）是减区间；
若a=0，由f′（x）＞0，得x＞-2，（-2，∞）是增区间；
由f′（x）＜0，得x＜-2，（-∞-2）是减区间；
若0＜a＜

1

2

，由f′（x）＞0，得x＜-

1

a

或x＞-2，（-∞，-

1

a

），（-2，+∞）是增区间；
由f′（x）＜0，得-

1

a

＜x＜-2，（-

1

a

，-2）是减区间；
若a＝

1

2

，则f′（x）＞0，（-∞，+∞）是增区间．
若a＞

1

2

，由f′（x）＞0，得x＜-2，或x＞-

1

a

，（-∞，-2），（-

1

a

，+∞）是增区间；
由f′（x）＜0，得-2＜x＜-

1

a

，（-2，-

1

a

）是减区间．
（2）若?

1

a

＜0?a＞0，f（x）在（0，1）单调递增，
f(x)max＝f(1)＝e(a+2)＝

3

2

e?a＝?

1

2

，舍去；
若0＜?

1

a

＜1?a＜?1，f（x）在（0，-

1

a

）单调递增，在（-

1

a

，1）单调递减，f(x)max＝f(?

1

a

)＝e?

1

a

＜e1舍去；
若?

1

a

＞1??1＜a＜0，f（x）在（0，1）单调递增，
f(x)max＝f(1)＝e(a+2)＝

3

2

e?a＝?<