Question

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E。 （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD:D

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E。 （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直径。

Answer 1

（1）连接OD、CD，先根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE= AC，即得∠2=∠3，根据元的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，从而证得结论；（2）

试题分析：（1）连接OD、CD，先根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE= AC，即得∠2=∠3，根据元的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，从而证得结论；   （2）分别证得△ACD∽△ABC与△ACD∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 ， ，由AD:DB=3:2可设AD=3k，DB=2k，则AB=5k，即可求得结果. （1）连接OD、CD ∵DE是⊙O的切线，切点为D ∴OD⊥DE于D ∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°； ∵BC为⊙O的直径 ∴∠BDC=90° ∴∠ADC=90° ∵E为AC的中点 ∴DE=CE=AE= AC ∴∠2=∠3 ∵⊙O中，OC=OD ∴∠1=∠4 ∴∠3+∠4=∠1+∠2=90° ∴OC⊥AC于C ∴AC是⊙O的切线； （2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC 同理：△ACD∽△BCD ∴ ① ② ∵AD:DB=3:2 ∴设AD=3k，DB=2k，则AB=5k ∴① ② ∴ . 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．