Question

设圆C ：（x-1 ） 2 +y 2 =1 ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程

设圆C ：（x-1 ） 2 +y 2 =1 ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

解：如图所示

设OQ为过点O的-条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.： 解法一：直接法，因OC中点为 ， 故|MP|= ，得轨迹方程为 ， 由圆的范围知0<x≤1. 解法二：定义法，∵∠OPC=90°， ∴动点P在以点M 为圆心，OC为直径的圆上， 由圆的方程得 解法三：代入法，设Q（x 1 ，y 1 ）， 则 又∵ ， ∴（2x-1） 2 +(2y) 2 =1（0<x≤1）． 解法四：参数法，设动弦OQ的方程为y=kx， 代入圆的方程得（x-1） 2 +k 2 x 2 =1，即（1+k 2 ）x 2 -2z=0, ∴ ， 消去k即可得到（2x-1） 2 +(2y) 2 =1(0<x 1）．

Answer 2

原点(0，0)在已知圆上，则动弦OQ的中点满足OQ垂直CQ，则点Q的轨迹是以CO为直径的圆且其轨迹应该在圆(x－1)??＋y??=1内。则点Q的轨迹方程是[x－(1/2)]??＋y??=(1/4)