Question

如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．（1）如图1，∠B=______；∠C=______．（2）如图2，M为

如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．（1）如图1，∠B=______；∠C=______．（2）如图2，M为线段BC上一动点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC于点N，E，请写出BN、CE、CD之间的数量关系，并证明；（3）当M是BC中点时，在（2）的条件下，CDCE的值是______．（不需证明）

Answer 1

（1）∵DB=DA，
∴∠B=∠BAD，
∴DA=AC，
∴∠C=∠ADC，
∵BA=BC，
∴∠C=∠BAC，
在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=∠BAC=2∠B，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即2∠B+∠B+2∠B=180°，
解得∠B=36°，
∴∠C=2∠B=2×36°=72°；

（2）CD=BN+CE．
理由如下：在△ACD中，∠CAD=180°-72°×2=36°，
∵∠B=∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∵在△ANH和△AEH中，

∠BAD＝∠CAD AH＝AH ∠AHN＝∠AHE＝90°

，
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN=AE，
又∵AB=BC，
∴BN=AB-AN=BC-AE，
由图可知，CE=AE-AC，
又∵CD=BC-BD=BC-AD=BC-AC，
∴CD=BN+CE；

（3）如图，M为BC的中点时，BM=CM，
过点C作CF∥AB交NE于F，
则∠B=∠MCF，∠ANE=∠CFE，
∵在△BMN和△CMF中，

∠B＝∠MCF BM＝CM ∠BMN＝∠CME

，
∴△BMN≌△CMF（ASA），
∴BN=CF，
由（2）可知△ANH≌△AEH，
∴∠ANE=∠E，
∴∠CFE=∠E，
∴CE=CF，
在（2）的条件下，CD=BN+CE=CF+CE=CE+CE=2CE，
∴

CD

CE

=2．
故答案为：2．