Question

（2011?舟山）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个

（2011?舟山）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD 2 =CE?AB．其中正确结论的序号是_______________

Answer 1

①④

证明：①∵AB是半圆直径， ∴AO=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC∥OD， ∴①正确． ②∵△CED与△AED不全等， ∴CE≠OE， ∴②错误． ③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，其它两角都不相等， ∴不能证明△ODE和△ADO全等， ∴③错误； ④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴∠CAD= ×45°=22.5°， ∴∠COD=45°， ∵AB是半圆直径， ∴OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=67.5° ∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证）， ∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣25°=45°， ∴△CED∽△COD， ∴ = ， ∴CD 2 =OD?CE= AB?CE， ∴2CD 2 =CE?AB． ∴④正确． 综上所述，只有①④正确． 故答案为：①④．