Question

已知一个数是完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同，这四位数是______

已知一个数是完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同，这四位数是______．

Answer 1

四位数可以表示成： a×1000+a×100+b×10+b， =a×1100+b×11， =11×（a×100+b）； 因为a×100+b必须被11整除，所以a+b=11，代入上式得： 四位数=11×[a×100+（11-a）]， =11×（a×99+11）， =11×11×（9a+1）； 只要9a+1是完全平方数就行了． 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得， 9a+1=19、28、27、46、55、64、73． 所以只有a=7一个解，则b=4． 因此四位数是7744=11 2 ×8 2 =88×88． 故答案为：7744．