Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区

已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为43，则a的值为______．

Answer 1

由题意可知f′（x）=3x²+2ax+b，
因为图象与直线y=0在原点处相切，∴f′（0）=b=0，
故f（x）=x³+ax²=x²（x+a），令其为0可解得x=0或x=-a，
故图中的与x轴交点处（原点右侧）的横坐标为-a，（a＜0）
故S=

∫

?a 0

(?x3?ax2)dx=（?

1

4

x4?

a

3

x3）

|

?a 0

=?

1

4

a4+

a

3

a3=

1

12

a4=

4

3

，解得a=-2，或a=2（舍去）
故答案为：-2