Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若D为B1C1的

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．

Answer 1

（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁，
又∵∠B₁A₁C₁=90°，即A₁C₁⊥A₁B₁，A₁B₁、AA₁是平面AA₁B₁B内的相交直线，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，可得AB₁⊥A₁C₁
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，
∴四边形AA₁B₁B是正方形，可得AB₁⊥A₁B，
又∵A₁B、A₁C₁是平面A₁BC₁内的相交直线，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁；
（II）连结AD，设AB=AC=AA₁=1，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴∠A₁DA是AD与平面A₁B₁C₁所成角
∵等腰Rt△A₁B₁C₁中，D为斜边的中点，∴A₁D=

1

2

B₁C₁=

2

2

，
又∵Rt△A₁DA中，AD=

A1D2+A1A 2

=

6

2

，
∴sin∠A₁DA=

A1D

AD

=

3

3

，即AD与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值等于

3

3

．