Question

已知锐角三角形ABC中， sin(A+B)= 3 5 ， sin(A-B)= 1 5 ．（I）求 tanA tan

已知锐角三角形ABC中， sin(A+B)= 3 5 ， sin(A-B)= 1 5 ．（I）求 tanA tanB 的值；（II）求tanB的值．

Answer 1

（I）∵ sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 3 5 ① sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 1 5 ② ①+②得： 2sinAcosB= 4 5 ，∴ sinAcosB= 2 5 ③ cosAsinB= 1 5 ④ ③/④得：tanA?cotB=2，即 tanA tanB =2 （II）∵△ABC是锐角三角形， 又 A+B=π-C，0＜C＜ π 2 ，∴ π 2 ＜A+B＜π ， sin(A+B)= 3 5 ∴ tan(A+B)=- 3 4 ，即 tanA+tanB 1-tanAtanB =- 3 4 由（1）tanA=2tanB，∴ 3tanB 1-2ta n 2 B =- 3 4 即2tan 2 B-4tanB-1=0， tanB= 4±2 6 4 ∵B是锐角， ∴ tanB=1+ 6 2