Question

设函数f（x）=ka x -a -x （a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值．（2）若f（1）＞0，试求

设函数f（x）=ka x -a -x （a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值．（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x 2 +2x）+f（x-4）＞0试求不等式f（1）＞0，试求不等式f（x 2 +2x）+f（x-4）＞0的解集；（3）若 f(1)= 3 2 ，且g(x)= a 2x + a -2x -2mf(x)在[1，+∞) 上的最小值为-2，求m．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数， ∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意； （2）∵f（1）＞0，∴ a- 1 a ＞0 ，又a＞0且a≠1，∴a＞1， 易知在R上单调递增， 原不等式化为：f（x 2 +2x）＞f（4-x），∴x 2 +2x＞4-x，即x 2 +3x-4＞0， ∴x＞1或x＜-4， ∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}； （3）∵ f(1)= 3 2 ，∴ a- 1 a = 3 2 ，即2a 2 -3a-2=0， 解得 a=2或a=- 1 2 （舍去）， ∴g（x）=2 2x +2 -2x -2m（2 x -2 -x ）=（2 x -2 -x ） 2 -2m（2 x -2 -x ）+2． 令t=f（x）=2 x -2 -x ，∵x≥1，∴ t≥f(1)= 3 2 ， ∴g（t）=t 2 -2mt+2=（t-m） 2 +2-m 2 ， 当 m≥ 3 2 时，当t=m时， g(t ) min =2- m 2 =-2 ，∴m=2； 当 m＜ 3 2 时，当 t= 3 2 时， g(t ) min = 17 4 -3m=-2 ， 解得 m= 25 12 ＞ 3 2 ，舍去， 综上可知m=2．