Question

已知圆C经过A（2，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l经过圆C

已知圆C经过A（2，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l经过圆C内一点 P( 1 2 ， -3) 与圆C相交于A，B两点，当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设圆的方程为（x-a） 2 +（y+2a） 2 =r 2 ，（1分） ∴ (2-a ) 2 +(-1+2a ) 2 = r 2 |a-2a-1 2 =r. （4分） ∴a=1， r= 2 ．（6分） 所以（x-1） 2 +（y+2） 2 =2．（7分） （Ⅱ）由题意得CP⊥AB，而 k CP = -3+2 1 2 -1 =2 ，所以 k AB =- 1 2 ，（10分） 从而得直线AB的方程为 y+3=- 1 2 (x- 1 2 ) ．（12分） 所以直线AB的方程为2x+4y+11=0．（14分）