Question

已知：关于x的方程 （k-1）x 2 -2kx+k+2=0 有解．（1）求k的取值范围；（2）若x 1 ，x 2 是方程的两个不

已知：关于x的方程 （k-1）x 2 -2kx+k+2=0 有解．（1）求k的取值范围；（2）若x 1 ，x 2 是方程的两个不等根，且满足（k-1）x 1 2 +2kx 2 +k+2=4x 1 x 2 ．求此时K的值．

Answer 1

（1）当k=1时，方程为一元一次方程-2x+3=0，其有一个解． 当k≠1时，方程为一元二次方程，其有两个相等或不相等的实数根， △=（-2k） 2 -4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1． 综上所述，k的取值范围是k≤2． （2）∵x 1 ≠x 2 ，由（1）知k＜2且k≠1， 由题意得：（k-1）x 1 2 +（k+2）=2kx 1 （*）， 将（*）代入（k-1）x 1 2 +2kx 2 +k+2=4x 1 x 2 中得：2k（x 1 +x 2 ）=4x 1 x 2 ． 又∵x 1 +x 2 = 2k k-1 ，x 1 x 2 = k+2 k-1 ， ∴2k? 2k k-1 =4? k+2 k-1 ． 解得：k 1 =-1，k 2 =2（不合题意，舍去）， 则所求k值为-1．