Question

已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；（

已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-4，
当x=2时，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得  
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
△＝4a2?4(1?2a)＝4(a+1+

2

) (a+1?

2

)
①当?

2

?1≤a≤

2

?1时，函数f（x）没有极小值
②当a＜?

2

?1或a＞

2

?1时，
由f′（x）=0得x1＝?a? 

a2+2a?1

，x2＝?a+ 

a2+2a?1

故x₀=x₂，由题设可知1＜?a+

a2+2a?1

＜3
（i）当a＞

2

?1时，不等式1＜?a+

a2+2a?1

＜3没有实数解；
（ii）当a＜?

2

?1时，不等式1＜?a+

a2+2a?1

＜3
化为a+1＜

a2+2a?1

＜a+3，
解得?

5

2

＜a＜ ?

2

?1
综合①②，得a的取值范围是(?

5

2

，?

2

?1)