Question

已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn=12an2+12an（n∈N*）（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）求数列{

已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn=12an2+12an（n∈N*）（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）∵S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，
∴S₁=

1

2

a₁²+

1

2

a₁，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
又S₂=

1

2

a₂²+

1

2

a₂，a₂＞0，∴a₂=2，
同理可得a₃=3，a₄=4；
（2）∵S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，
∴n≥2时，S_n-1=

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1，
两式相减可得a_n=（

1

2

a_n²+

1

2

a_n）-（

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1），
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n．