Question

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3=6，且a1，a2，a4成等比数列，数列{bn}满足bn+1=2bn+1，n∈N*，且

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3=6，且a1，a2，a4成等比数列，数列{bn}满足bn+1=2bn+1，n∈N*，且b1=3（1）求数列{an}和{bn}的通项公式（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且cn=1an?log2(bn+1)，证明：Sn＜12．

Answer 1

解答：（1）解：设公差为d≠0，
∵a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴a₁+2d=6，且（a₁+d）²=a₁?（a₁+3d），
解得a₁=2，d=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n-1）×2=2n；
∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∵b₁=3，
∴数列{b_n+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2ⁿ⁺¹-1；
（2）证明：c_n=

1

an?log2(bn+1)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

，
∴S_n＜

1

2

．