Question

已知数列{an}满足nan+1=（n+1）an，a1=1．（Ⅰ） 求数列{1anan+1}的前n项和Tn；（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤

已知数列{an}满足nan+1=（n+1）an，a1=1．（Ⅰ） 求数列{1anan+1}的前n项和Tn；（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N*}，使不等式Tn＜t2-12成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，
∴

an+1

n+1

?

an

n

＝0
∴数列{

an

n

}是等差数列，
∵a₁=1，∴

an

n

＝1，∴a_n=n
∵

1

anan+1

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-

1

2

成立，只要（T_n）_min＜t²-

1

2

∵Tn+1?Tn＝

n+1

n+2

?

n

n+1

＝

1

(n+1)(n+2)

＞0
∴T_n是单调递增的
∵n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，∴（T_n）_min=T（1）=

1

2

于是只要

1

2

＜t²-

1

2

，∴t＜-1或t＞1
∴实数t的取值范围是t＜-1或t＞1．