Question

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB ∥ DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC= 1 2

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB ∥ DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC= 1 2 AB=1，M 是SB的中点．（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；（2）求AC与SB所成的角；（3）求二面角M-AC-B的大小．

Answer 1

（1）由已知可得：SA⊥CD，CD⊥AD∴CD⊥平面SAD，（2分） 而CD?SCD，∴平面SAD⊥平面SCD（3分） （2）设AC中点O，SC中点E，AB中点F， BC中点G，连接OE、OF、EF、EG、FG EG ∥ SB，FG ∥ AC，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角）（5分） ∴ OE= 1 2 SA= 1 2 ，OF= 1 2 CE= 2 2 ，EF= ( 1 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 = 3 2 又∵ FG= 1 2 AC= 2 2 ，EG= 1 2 SB= 5 2 ∴ cos∠EGF= E G 2 +F G 2 -E F 2 2EG?FG = 10 5 （7分） ∴AC与SB所成的角为 arcos 10 5 （8分） （3）连接MO，根据三垂线定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC ∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角（10分） tan∠MOF= MF OF = 2 2 ∴F二面角M-AC-B的大小为 artan 2 2 （12分）