Question

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1 =2，E是BC中点．（I）求证：A 1 B ∥ 平面

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1 =2，E是BC中点．（I）求证：A 1 B ∥ 平面AEC 1 ；（II）若棱AA 1 上存在一点M，满足B 1 M⊥C 1 E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC 1 与平面ABB 1 A 1 所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（本小题满分14分） （I）证明：连接A 1 C交AC 1 于点O，连接EO， 因为ACC 1 A 1 为正方形，所以O为A 1 C中点， 又E为CB中点，所以EO为△A 1 BC的中位线， 所以EO ∥ A 1 B，…（2分） 又∵EO?平面AEC 1 ，A 1 B?平面AEC 1 ， 所以A 1 B ∥ 平面AEC 1 ．…（4分） （Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA 1 为z轴建立空间直角坐标系 所以A（0，0，0），A 1 （0，0，2），B（2，0，0），B 1 （2，0，2），C 1 （0，2，2），E（1，1，0）， 设M（0，0，m），0≤m≤2，所以 B 1 M =(-2，0，m-2) ， C 1 E =（1，-1，-2）， 因为B 1 M⊥C 1 E，所以 B 1 M ? C 1 M =0 ，解得m=1，所以AM=1．…（8分） （Ⅲ）因为 AE =（1，1，0）， A C 1 =（0，2，2）， 设平面AEC 1 的法向量为 n =（x，y，z）， 则有 AE ? n =0 A C 1 ? n =0 ，得 x+y=0 y+z=0 ， 令y=-1，则x=1，z=1，所以取 n =（1，-1，1），…（10分） 因为AC⊥平面ABB 1 A 1 ，取平面ABB 1 A 1 的法向量为 AC =（0，2，0），…（11分） 所以cos＜ AC ， n ＞= AC ? n | AC |?| n | =- 3 3 ，…（13分） 平面AEC 1 与平面ABB 1 A 1 所成锐二面角的余弦值为 3 3 ．…（14分）