如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AA 1 =AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B 1 C ∥ 平面A 1

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-B1的余弦值．... 如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AA 1 =AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B 1 C ∥ 平面A 1 BD；（Ⅱ）求二面角A 1 -BD-B 1 的余弦值．展开

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（Ⅰ）连结AB₁ ，交A₁ B于点O，连结OD，

∵在直三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁ 中，AA₁ =AB=BC=3，
∴ABB₁ A₁ 是正方形，∴O是AB₁ 的中点，
∵D是AC的中点，∴OD是△ACB₁ 的中位线，∴OD ∥ B₁ C，
∵B₁ C不包含于平面A₁ BD，OD?平面A₁ BD，
∴B₁ C ∥ 平面A₁ BD．
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，
以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁ =AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，
∴A₁ （-1，0，3），B（0，2

，0），
D（0，0，0），B₁ （0，2

，3），
∴

D A 1

=（-1，0，3），

=（0，2

，0），

D B 1

=（0，2

，3），
设平面A₁ BD的法向量

=(x，y，z) ，则

D A 1

=0 ，

=0 ，
∴

-x+3z=0

y=0

，∴

=（3，0，1），
设平面B₁ BD的法向量

=（x₁ ，y₁ ，z₁ ），则

D B 1

=0 ，

=0 ，
∴

y 1 +3 z 1 =0

y 1 =0

，∴

=（1，0，0），
设二面角A₁ -BD-B₁ 的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

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