Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=BC=BB 1 ，D为AC的中点．（I）求证：B 1 C ∥ 平面A 1 BD；

如图所示，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=BC=BB 1 ，D为AC的中点．（I）求证：B 1 C ∥ 平面A 1 BD；（Ⅱ）若AC 1 ⊥平面A 1 BD，求证：B 1 C 1 ⊥平面ABB 1 A 1 ；（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A 1 C 1 -D的大小．

Answer 1

（I）证明：连结AB 1 交A 1 B于E，连ED． ∵ABC-A 1 B 1 C 1 是三棱柱中，且AB=BB 1 ， ∴侧面ABB 1 A是一正方形． ∴E是AB 1 的中点，又已知D为AC的中点． ∴在△AB 1 C中，ED是中位线． ∴B 1 C ∥ ED．∴B 1 C ∥ 平面A 1 BD．…（4分） （II）证明：∵AC 1 ⊥平面ABD，∴AC 1 ⊥A 1 B， 又∵侧面ABB 1 A是一正方形，∴A 1 B⊥AB 1 ． ∴A 1 B⊥平面AB 1 C 1 ．∴A 1 B⊥B 1 C 1 ． 又∵ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱，∴BB 1 ⊥B 1 C 1 ． ∴B 1 C 1 ⊥平面ABB 1 A 1 ．…（8分） （III）由上问知B 1 C 1 ⊥平面ABB 1 A 1 ．∴BC⊥平面ABB 1 A 1 ．∴BC⊥AB． 以BA、BC、BB 1 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 不妨设AB=BC=BB 1 =1，则显然B、D、A 1 、C 1 各点的坐标分别是 B（0，0，0），D（ 1 2 ， 1 2 ，0 ），A 1 （1，0，1），C 1 （0，1，1）． ∴ B A 1 =(1，0，1)， B C 1 =(0，1，1)， BD =( 1 2 ， 1 2 ，0). 显然， BD 就是平面 A 1 C 1 D的法向量. 设平面B A 1 C 1 的法向量为 n =(x，y，z)，则 n ? B A 1 =0， n ? B C 1 =0. ∴(x，y，z)?(1，0，1)=0，(x，y，z)?(0，1，1)=0. ∴x=y=-z．令x=1，则 n =(1，1，-1). 设 n 与 BD 所成的角为θ，则cosθ= n ? BD | n || BD | =…= 6 3 . 由图形可知二面角B-A 1 C 1 -D的平面角为锐角， ∴二面角B-A 1 C 1 -D的大小为 arccos 6 3 ．…（12分）