Question

（2014?闸北区二模）已知：如图，点D是线段BC上的任意一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，AD与BE交于点F

（2014?闸北区二模）已知：如图，点D是线段BC上的任意一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，AD与BE交于点F．（1）求证：△BDE≌△ADC；（2）求证：AB2=BC?AF；（3）若BD=12，CD=6，求∠ABF的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵△ABD和△DCE都是等边三角形
∴BD=AD，DE=DC，∠FAB=∠ABC=∠ADB=∠EDC=60°，
∴∠BDE=∠ADC． 
在△BDE和△ADC中，

BD＝AD ∠BDE＝∠ADC DE＝DC

，
∴△BDE≌△ADC（SAS）；
（2）∵△BDE≌△ADC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠ABC=∠ADB=60°
∴∠ABF=∠BCA
∵∠FAB=∠ABC，∠ABF=∠BCA，
∴△FAB∽△ABC，
∴

AF

AB

=

AB

BC

，
即AB²=BC?AF，
（3）如图，

∵△FAB∽△ABC
∴∠ABF=∠ACB，
过A作AM⊥BC于点M  
∵△ABD是等边三角形，BD=12
∴MD=6，AM=6

3

，
在Rt△AMC中，AC=

AM2+MC2

(6 3 )2+122

=6

7

，
∴sin∠ACB=