Question

（2014?曲靖模拟）如图，AB是⊙O的直径，过O作弦AC的垂线，交⊙O于点D，分别交AE、AC于点E、点F，已知∠B

（2014?曲靖模拟）如图，AB是⊙O的直径，过O作弦AC的垂线，交⊙O于点D，分别交AE、AC于点E、点F，已知∠BDC=∠E．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE=10，sin∠BDC=35，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠BDC=∠E（已知），∠BDC=∠CAB
∴∠E=∠CAB，
∵EF⊥AC于点F，即∠AFE=90°
∴∠E+∠EAF=90°
∴∠CAB+∠EAF=90°，
即AE⊥AB，且AB是圆的直径
∴AE是圆O的切线；

（2）解：∵∠E=∠BDC，
∴sin∠E=sin∠BDC=

3

5

∴Rt△AEF中，sin∠E=

AF

AE

，且AE=10
∴AF=6，
∵OF⊥AC于点F，
∴AC=2AF=12（垂径定理）．