Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为在极点，以x轴非负半轴为极轴且长度单位相同建立极坐标系，曲线C1的参数方

在直角坐标系xOy中，以原点O为在极点，以x轴非负半轴为极轴且长度单位相同建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x＝1tanαy＝1tan2α（α为参数），曲线C2的极坐标方程ρ（cosθ+sinθ）=1若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，（1）求|AB|的值；（2）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

Answer 1

（1）曲线C₁的方程为

x＝ 1 tanα y＝ 1 tan2α

（α为参数），的普通方程为y=x²，
曲线C₂的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，的直角坐标方程为：x+y-1=0，
把直线 x+y-1=0代入y=x²，
得x²+x-1=0，∴x₁=

?1+ 5

2

，x₂=

?1? 5

2

，
∴x₁-x₂=

5

，
∴|AB|=

2

×|x₁-x₂|=

10

．
（2）由（1）得A，B两点的坐标分别为A（

?1+ 5

2

，

3? 5

2

），B（

?1? 5

2

，

3+ 5

2

），
∴|MA|²=（

1+ 5

2

）²+（

1+ 5

2

）²，|MB|²=（

1? 5

2

）²+（

1? 5

2

）²，
则点M到A，B两点的距离之积为|MA|?|MB|=2×

1+ 5

2

×

?1+ 5

2

=2．