Question

设总体X的密度为φ（x）=(θ+1)xθ，0＜x＜10， &...

设总体X的密度为φ（x）=(θ+1)xθ，0＜x＜10， 其它．其中θ＞-1是未知参数，（X1，…，Xn）是来自总体X的一个样本，求：（1）参数θ的矩估计量θ1；（2）参数θ的极大似然估计量θ2．





Answer 1

（1）
EX=

∫

1 0

x(θ+1)xθdx=

θ+1

θ+2

xθ+2

|

1 0

=

θ+1

θ+2

，
令：EX=

.

x

，
即：

θ+1

θ+2

=

.

x

，
解得：

θ1

=

2 . X ?1

1? . X

，
故参数θ的矩估计量为：

θ1

=

2 . X ?1

1? . X

．

（2）
L（θ）=

n π

i＝1

φ(xi，θ)，
则当：0＜x_i＜1（i=1，2，…，n）时，
L（θ）=（θ+1）ⁿ(

n π

i＝1

xi)θ，
取对数可得：lnL（θ）=nln（θ+1）+θ

n

i＝1

lnxi，
两边对θ求导可得：

dlnL(θ)

dθ

=

n

θ+1

+

n

i＝1

lnxi，
令：

dlnL(θ)

dθ

=0，
解得：

θ2

=-1-

n

n i＝1 lnXi

．