Question

已知在直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（-2，3）和点B（0，-5）．（1）求这个二次函数

已知在直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（-2，3）和点B（0，-5）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个函数的图象向右平移，使它再次经过点B，并记此时函数图象的顶点为M．如果点P在x轴的正半轴上，且∠MPO=∠MBO，求∠BPM的正弦值．

Answer 1

（1）由题意，得

3＝?4?2b+c ?5＝c

，
解得

b＝?6 c＝?5

；
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-6x-5．

（2）二次函数y=-x²-6x-5图象的顶点坐标为（-3，4），且经过点（-6，-5）；
∴图象向右平移6个单位，平移后的顶点M的坐标为（3，4）．
由题意∠MPO=∠MBO，由右图知：∠MNP=∠BNO，可得：
∠MPO+∠MNP=∠MBO+∠BNO，即：∠PMB=∠POB=90°．
已知B（0，-5）、M（3，4），设点P的坐标为（x，0），则：
BM²=（0-3）²+（-5-4）²=90、MP²=（x-3）²+16、BP²=x²+25；
∴（x-3）²+16+90=x²+25，解得 x=15；
∴点P的坐标为（15，0）．
∴BM=3

10

，PB=5

10

．
∴sin∠BPM=

3

5

．