Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于 M，交DC于N．

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于 M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得 MB=ME，MN⊥BE．（2分） 过N作AB的垂线交AB于F． 在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°， 在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°， ∴∠MBP=∠MNF． 在Rt△EBA与Rt△MNF中， ∵AB=FN， ∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x． 在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM， ∴（2-AM） 2 =x 2 +AM 2 ． 4-4AM+AM 2 =x 2 +AM 2 ，即4-4AM=x 2 ， 解得AM=1- 1 4 x 2 ．（5分） 所以梯形ADNM的面积S= AM+DN 2 ×AD= AM+AF 2 ×2 =AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE =2（1- 1 4 x 2 ）+x =- 1 2 x 2 +x+2 即所求关系式为s=- 1 2 x 2 +x+2．（8分） （2）s=- 1 2 x 2 +x+2=- 1 2 （x 2 -2x+1）+ 5 2 =- 1 2 （x-1） 2 + 5 2 故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是 5 2 ．