如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于 M,交DC于N.

如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于M,交DC于N.(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关... 如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于 M,交DC于N.(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少? 展开
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uDH36帝把
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知道答主
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(1)连接ME,设MN交BE于P,根据题意,得
MB=ME,MN⊥BE.(2分)
过N作AB的垂线交AB于F.
在Rt△MBP中,∠MBP+∠BMN=90°,
在Rt△MNF中,∠FNM+∠BMN=90°,
∴∠MBP=∠MNF.
在Rt△EBA与Rt△MNF中,
∵AB=FN,
∴Rt△EBA≌Rt△MNF,故MF=AE=x.
在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=AB-AM=2-AM,
∴(2-AM) 2 =x 2 +AM 2
4-4AM+AM 2 =x 2 +AM 2 ,即4-4AM=x 2
解得AM=1-
1
4
x 2 .(5分)
所以梯形ADNM的面积S=
AM+DN
2
×AD=
AM+AF
2
×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2(1-
1
4
x 2 )+x
=-
1
2
x 2 +x+2
即所求关系式为s=-
1
2
x 2 +x+2.(8分)

(2)s=-
1
2
x 2 +x+2=-
1
2
(x 2 -2x+1)+
5
2
=-
1
2
(x-1) 2 +
5
2

故当AE=x=1时,四边形ADNM的面积S的值最大,最大值是
5
2

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