Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5（I）探究新知：如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5（I）探究新知：如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.. （1）求证内切圆的半径r 1 =1（2）求tan∠OAG的值（II）结论应用：（1）如图②若半径为r 2 的两个等圆⊙O 1 、⊙O 2 外切，且⊙O 1 与AC、AB相切，⊙O 2 与BC、AB相切，求r 2 的值；（2）如图③若半径为r n 的n个等圆⊙O 1 、⊙O 2 、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1 与AC、AB相切，⊙O n 与BC、AB相切，⊙O 1 、⊙O 2 、…、⊙O n 均与AB相切，求r n 的值

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Answer 1

解：（Ⅰ） （1）证明：在图①中，连结OE,OF,OA ∵四边形CEOF是正方形，CE=CF=r 1 又∵AG=AE=3-r 1 ，BG=BF=4-r 1 ，AG+BG=5， ∴（3-r 1 ）+（4-r 1 ）=5 即r=1。 （2） 连结OG，在Rt△AOG中， ∵r 1 =1， AG= 3-r 1 =2，tan∠OAG= =

（Ⅱ） （1）连结O 1 A、O 2 B，作O 1 D⊥AB交于点D、O 2 E⊥AB交于点E，AO 1 、BO 2 分别平分∠CAB、∠ABC 由tan∠OAG= ，知tan∠O 1 AD= ， 同理可得：tan∠O 2 BE= = ∴AD=2r 2 ，DE=2r 2 ，BE=3r 2 ∵AD+DE+BE=5，r 2 = 。 （2）如图③，连结O 1 A、O n B，作O 1 D⊥AB交于点D、O 2 E⊥AB交 于点E、…、O n M⊥AB交于点M 则AO 1 、BO 2 分别平分∠CAB、∠ABC tan∠O 1 AD= ，tan∠O n BM= ,AD=2r n ，DE=2r n ，…,MB=3r n ， 又∵AD+DE+…+MB=5，2r n +2r n +…+3r n =5,(2n+3) r n =5 r= 。