Question

已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{an}成等差数列的充要条件

已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{an}成等差数列的充要条件．

Answer 1

当n=1时，a₁=a+b+c；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a
由于a≠0，∴当n≥2时，{a_n}是公差为2a等差数列．
要使{a_n}是等差数列，则a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差数列的必要条件是：a≠0，c=0．
充分性：
当a≠0，c=0时，Sn＝an2+bn．
当n=1时，a₁=a+b；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴an＝2an+b?a(n∈N*)?an?an?1＝2a(n∈N*)
∴{a_n}是等差数列．
综上可知，数列{a_n}是等差数列的充要条件是：a≠0，c=0．