Question

已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把

已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

Answer 1

解答：（1）证明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12＜0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函数y=（x-m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x²-2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

Answer 2

（1）证明：∵△=（-2m）2-4×1×（m2+3）=4m2-4m2-12=-12＜0，
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解，=（x-m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的 顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，
把函数yx轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2-2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．