Question

如图，已知一次函数 y=- 3 4 x+3 的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在线段BA上以每秒1个

如图，已知一次函数 y=- 3 4 x+3 的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间为t（s），其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求线段AB的长；（2）当t为何值时，△ACD的面积等于△AOB面积的 9 80 ；（3）当t为何值时，△ACD是等腰三角形．

Answer 1

（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4， ∴A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB= 4 2 + 3 2 =5； （2）如图1，作CH⊥OA于H， 则△ACH～△ABO， ∴ CH BO = AC AB ∴ CH 3 = 5-t 5 ∴ CH= 3(5-t) 5 ∴ S △ACD = 1 2 AD?CH = 1 2 t? 3(5-t) 5 = - 3 10 t 2 + 3 2 t ， S △AOB = 1 2 OA?OB= 1 2 ×4×3=6 ， ∴ - 3 10 t 2 + 3 2 t=6× 9 80 ， 即4t 2 -20t+9=0 解得： t 1 = 1 2 ， t 2 = 9 2 （舍去）， 故 t= 1 2 时， S △ACD = 9 80 S △AOB ； （3）①如图2，当AC=AD时，5-t=t， ∴解得： t= 5 2 （符合题意）； ②如图3，当AC=CD时，过点C作CH⊥AD于点H， 由（2）得出：CH= 3(5-t) 5 ，AH=DH= 1 2 t， ∴ CH AH = 3(5-t) 5 t 2 = 3 4 ， 解得： t= 40 13 （符合题意）， ③如图4，当AD=CD时，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠OAB=∠HAD，∠DHA=∠BOA=90°， ∴△ADH ∽ ABO， ∴ AH AO = AD AB ， 5-t 2 4 = t 5 解得： t= 25 13 （符合题意）， 故t为 5 2 或 40 13 或 25 13 时△ACD是一个等腰三角形．