Question

如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）延长ED

如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）延长ED交BA的延长线于F，若DF=4，AF=2，求BC的长．

Answer 1

解（1）如图，连接DB，OD，
∵OD=OB
∴∠1=∠3．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠CDB，
∵E为BC中点，
∴DE=BE，
∴∠2=∠4．
∵BC切⊙O于点B，
∴∠ABC=90°=∠3+∠4，
∴∠1+∠2=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O半径，
∴DE为⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠FDO=90°，
设OA=OD=r．
∵OF²=FD²+OD²，DF=4，AF=2，
∴（r+2）²=4²+r²，
解得r=3，
∴OA=OD=3，FB=8，
∵∠F=∠F，∠FDO=∠FBE=90°，
∴△FDO∽△FBE，
∴

FD

FB

＝

OD

BE

，
∴BE=6，
∵E为BC中点，
∴BC=2BE=12．